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통계학 이야기

99. 반복이 있는 이원배치 분산분석 III

knowledge-seeker 2024. 7. 22. 11:56

Chapter 99. 반복이 있는 이원배치 분산분석 III

 

이원배치 분산분석은 두 개의 설명(독립)변수(요인)가 있는 경우에 적용됩니다. 이 요인들의 각 수준 조합에 대한 종속변수의 평균 차이를 비교합니다.
요인(설명변수,독립변수)이 두 개이고 각 처리(수준)에 하나의 관측값(반응변수,종속변수)이 있는 경우 각 요인의 처리 효과를 확인하기 위한 모형을 설정합니다.

 

 

반복이 있는 이원배치 분산분석의 모형식은 아래와 같습니다.

Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk

각 항은 아래와 같습니다.

μ: 전체평균
ϵijk: 오차, ϵijkN(0,σ2)
αi: 요인 A의 i 번째 처리효과
βj: 요인 B의 j 번째 처리효과(주효과)
(αβ)ij: 요인 A 와 B의 상호작용

 


1. 혼합 효과 모형

 

혼합효과모형은 고정효과모형과 변량효과모형의 특성을 혼합한 모형입니다. 이 모형은 하나의 요인은 고정효과로 취급하고 다른 요인은 변량효과로 취급합니다.

위 모형에서 요인 A는 고정효과모형을 요인 B는 변량효과모형을 따른다고 했을 때, 모형식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk


각 항에 대하여 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

μ: 전체평균
ϵijk: 오차, ϵijkN(0,σ2)
αi: 요인 A의 i 번째 처리효과(주효과) , αi=0
βjiidN(0,σ2B) 요인 B의 j 번째 처리효과 , 확률변수
(αβ)ijiidN(0,σ2AB 요인 A 와 B의 상호작용


상호작용효과는 확률변수라 할 수 있습니다.

 


 

2. 혼합효과 모형식의 특징

 

위 모형식에서 요인 A는 고정효과모형으로 상수로 나타나고, 요인 B는 확률변수, 상호효과역시 확률변수이므로 아래와 같은 성질을 가지게 됩니다.

 

E(Yijk)=μ
Var(Yijk)=σ2B+σ2AB+σ2

 

각 요인에서의 공분산은 아래와 같이 추론할 수 있습니다.

 

Cov(Yijk,Yijk)=σ2B+σ2AB
Cov(Yijk,Yijk)=σ2Bσ2AB/(p1)
Cov(Yijk,Yijk)=0

 


 

3. 평균제곱(MS)의 기대값

 

E(MSE)=σ2

E(MS(AB))=σ2+npσ2AB/(p1)

MSE에 비해 MS(AB)가 크면 클수록 σ2AB>0일 가능성이 높습니다.

 

E(MSA)=σ2+nσ2AB/(p1)+nqpi=1α2i/(p1)

E(MSB)=σ2+npσ2B

MSE와 MSA 또는 MSB 를 직접 비교하기는 곤란합니다.

MS(AB)에 비해 MSA가 크면 클수록 α2i0일 가능성이 높습니다.

 

MS(AB)에 비해 MSB가 크면 클수록 σ2B>0일 가능성이 높습니다.

 


 

4. 혼합 효과 모형 분산분석표

 

요인 A의 처리효과를 확인하기 위한 F-통계량은 MSE 대신에 MS(AB)를 사용하고, 요인 B의 처리효과를 확인하기 위한 F-통계량은 그대로 MSE를 사용합니다.

 

변동요인 자유도 제곱합 평균제곱 F-통계량
처리 A(고정) p-1 SSA MSA MSA/MS(AB)
처리 B(변량) q-1 SSB MSB MSB/MSE
 상호작용 (p-1)(q-1) SS(AB) MS(AB) MS(AB)/MSE
오차 pq(n-1) SSE MSE  
전체 N-1 TSS    

 

상호작용효과가 유의하지 않으면 오차에 흡수시켜 다시 분석합니다.
상호작용효과가 유의하면 주효과가 유의하지 않더라도 모형을 유지합니다.

 


5. 모수 추정

 

(1) 상호 작용 효과의 분산

 

E(MSE)=σ2
E(MS(AB))=σ2+npσ2AB/(p1)
npσ2AB/(p1)=E(MS(AB))E(MSE)
σ2AB=(p1)np(E(MS(AB))E(MSE))

 

(2) 요인 A의 처리효과 구간추정

 

고정효과모형에서의 모수는 평균의 차이입니다.

μ(Ai)의 구간 추정은 아래와 같이 할 수 있습니다.

 

ˉYi++±tα/2,(p1)(q1)MS(AB)/nq

 

(3) 요인 B의 처리효과 분산추정

 

변량효과모형에서의 모수는 분산입니다.

 

E(MSB)=σ2+npσ2B

npσ2B=E(MSB)E(MS(AB))

σ2B=E(MSB)E(MS(AB))np