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99. 반복이 있는 이원배치 분산분석 III 본문
Chapter 99. 반복이 있는 이원배치 분산분석 III
이원배치 분산분석은 두 개의 설명(독립)변수(요인)가 있는 경우에 적용됩니다. 이 요인들의 각 수준 조합에 대한 종속변수의 평균 차이를 비교합니다.
요인(설명변수,독립변수)이 두 개이고 각 처리(수준)에 하나의 관측값(반응변수,종속변수)이 있는 경우 각 요인의 처리 효과를 확인하기 위한 모형을 설정합니다.

반복이 있는 이원배치 분산분석의 모형식은 아래와 같습니다.
Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk
각 항은 아래와 같습니다.
μ: 전체평균
ϵijk: 오차, ϵijk∼N(0,σ2)
αi: 요인 A의 i 번째 처리효과
βj: 요인 B의 j 번째 처리효과(주효과)
(αβ)ij: 요인 A 와 B의 상호작용
1. 혼합 효과 모형
혼합효과모형은 고정효과모형과 변량효과모형의 특성을 혼합한 모형입니다. 이 모형은 하나의 요인은 고정효과로 취급하고 다른 요인은 변량효과로 취급합니다.
위 모형에서 요인 A는 고정효과모형을 요인 B는 변량효과모형을 따른다고 했을 때, 모형식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+ϵijk
각 항에 대하여 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
μ: 전체평균
ϵijk: 오차, ϵijk∼N(0,σ2)
αi: 요인 A의 i 번째 처리효과(주효과) , ∑αi=0
βj∼iidN(0,σ2B) 요인 B의 j 번째 처리효과 , 확률변수
(αβ)ij∼iidN(0,σ2AB 요인 A 와 B의 상호작용
상호작용효과는 확률변수라 할 수 있습니다.
2. 혼합효과 모형식의 특징
위 모형식에서 요인 A는 고정효과모형으로 상수로 나타나고, 요인 B는 확률변수, 상호효과역시 확률변수이므로 아래와 같은 성질을 가지게 됩니다.
E(Yijk)=μ
Var(Yijk)=σ2B+σ2AB+σ2
각 요인에서의 공분산은 아래와 같이 추론할 수 있습니다.
Cov(Yijk,Yijk′)=σ2B+σ2AB
Cov(Yijk,Yi′jk′)=σ2B−σ2AB/(p−1)
Cov(Yijk,Yi′j′k′)=0
3. 평균제곱(MS)의 기대값
E(MSE)=σ2
E(MS(AB))=σ2+npσ2AB/(p−1)
⟹MSE에 비해 MS(AB)가 크면 클수록 σ2AB>0일 가능성이 높습니다.
E(MSA)=σ2+nσ2AB/(p−1)+nq∑pi=1α2i/(p−1)
E(MSB)=σ2+npσ2B
⟹MSE와 MSA 또는 MSB 를 직접 비교하기는 곤란합니다.
⟹MS(AB)에 비해 MSA가 크면 클수록 α2i≠0일 가능성이 높습니다.
⟹MS(AB)에 비해 MSB가 크면 클수록 σ2B>0일 가능성이 높습니다.
4. 혼합 효과 모형 분산분석표
요인 A의 처리효과를 확인하기 위한 F-통계량은 MSE 대신에 MS(AB)를 사용하고, 요인 B의 처리효과를 확인하기 위한 F-통계량은 그대로 MSE를 사용합니다.
변동요인 | 자유도 | 제곱합 | 평균제곱 | F-통계량 |
처리 A(고정) | p-1 | SSA | MSA | MSA/MS(AB) |
처리 B(변량) | q-1 | SSB | MSB | MSB/MSE |
상호작용 | (p-1)(q-1) | SS(AB) | MS(AB) | MS(AB)/MSE |
오차 | pq(n-1) | SSE | MSE | |
전체 | N-1 | TSS |
상호작용효과가 유의하지 않으면 오차에 흡수시켜 다시 분석합니다.
상호작용효과가 유의하면 주효과가 유의하지 않더라도 모형을 유지합니다.
5. 모수 추정
(1) 상호 작용 효과의 분산
E(MSE)=σ2
E(MS(AB))=σ2+npσ2AB/(p−1)
⟹npσ2AB/(p−1)=E(MS(AB))−E(MSE)
σ2AB=(p−1)np(E(MS(AB))−E(MSE))
(2) 요인 A의 처리효과 구간추정
고정효과모형에서의 모수는 평균의 차이입니다.
μ(Ai)의 구간 추정은 아래와 같이 할 수 있습니다.
ˉYi++±tα/2,(p−1)(q−1)√MS(AB)/nq
(3) 요인 B의 처리효과 분산추정
변량효과모형에서의 모수는 분산입니다.
E(MSB)=σ2+npσ2B
⟹npσ2B=E(MSB)−E(MS(AB))
σ2B=E(MSB)−E(MS(AB))np
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