88. R을 이용한 분산분석(ANOVA)

Chapter 88. R을 이용한 분산분석(ANOVA)

 

1. 일원배치 분산분석

 

분산분석(ANOVA, Analysis of Variance)은 세 개 이상의 그룹 간의 평균차이를 비교 하는 통계적 기법입니다.

일원배치 분산분석(One-way ANOVA)은 한 개의 설명(독립)변수(요인)가 하나의 반응(종속)변수에 미치는 영향을 분석하는 통계 기법입니다. 일원배치 분산분석에서는 독립변수가 세 개 이상의 수준(그룹)을 가지며, 각 수준에서의 종속변수의 평균을 비교하여 그룹 간의 차이가 통계적으로 유의한지를 검정합니다.

 

◈  예제 : 사료에 따른 체중증가 실험

 

이 실험에서 독립변수(요인)은 사료입니다. 그룹 혹은 수준(처리)의 수는 4 종류이고, 반응변수(종속변수)는 체증증가라고 할 수 있습니다.
실험 대상으로 쥐를 선정하고 할당하는 과정은 완전확률화 설계에 따라 랜덤(random)하게 이루어져야 합니다.

이 때 비교대상은 4종류 사료별 체증증가의 평균이 됩니다.

 

방법	쇠고기 저단백	쇠고기 고단백	시리얼 저단백	시리얼 고단백
반복	90  76 90  64 86  51 72  90 95  78	73  102 118 104  81  107 100  87  117  111	107  95   97   80   98  74    74   67    89   58	98  74  56  111 95  88 82  77 86  92
합	792	1000	839	859

 

요인 : 사료, 수준(처리)의 수 : 4 , 반응변수 : 체중증가

반복수 : 각 10 회

 

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2. R을 이용한 일원배치 분산분석

 

(1) 자료 불러오기

 

rats.csv

0.00MB

rats <- read.csv("rats.csv",header = TRUE, fileEncoding = "CP949",
                 encoding = "UTF-8")
head(rats)

 

  사료 체중증가
1    1       90
2    2       73
3    3      107
4    4       98
5    1       76
6    2      102

 

▶ 사료 부문의 자료를 살펴보면,

rats$사료

 

[1] 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
[40] 4

 

위 자료는 숫자형이므로 범주형 자료로 바꾸어야 합니다. 이 때, 필요한 R의 함수는 as.factor( ) 입니다.

 

▶ Data의 범주화

as.factor(rats$사료)

[1] 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
[40] 4
Levels: 1 2 3 4

 

Levels : 1 2 3 4 로 4개의 범주로 바뀌었음을 알 수 있습니다.

 

 

(2) 시각화

 

시각화를 위하여 각 사료별로 상자그림을 그려보는 코드입니다.

rats$사료 <- as.factor(rats$사료)
boxplot(체중증가~사료,rats, col=c("skyblue",'orange','green','pink'))

 

범주화된 자료로 변경시킨 후 이 자료를 이용해 상자그림을 그립니다.
위 그림에서 2번 사료의 체중증가 평균이 다른 사료의 체중증가 평균보다 높은 것으로 보입니다. 이것이 통계적으로 의미있는 차이가 있는 지 알아보기 위해 분산분석을 사용해 보겠습니다.

 

 

(3) 분산분석 - aov( ) 함수

 

aov( ) 함수는 분산 분석(ANOVA)을 수행하는 데 사용됩니다. 이 함수는 하나 이상의 독립 변수(요인)가 종속 변수에 미치는 영향을 평가하고, 그룹 간의 평균 차이가 통계적으로 유의한지를 검정합니다.

aov(formula, data)

formula: 분석할 모델을 지정하는데 사용됩니다. 
일반적으로 종속 변수와 독립 변수 간의 관계를 나타내는 공식으로 지정됩니다.
data: 분석에 사용할 데이터 프레임을 지정합니다.

 

위 자료를 분산분석을 하면,

 

aov(체중증가~사료,data=rats)

 

Call:
   aov(formula = 체중증가 ~ 사료, data = rats)

Terms:
                  사료 Residuals
Sum of Squares  2404.1    8049.4
Deg. of Freedom      3        36

Residual standard error: 14.95307
Estimated effects may be unbalanced

 

결과값에 대한 설명은 아래와 같습니다.

 

● Call: 사용된 함수의 호출 방식과 사용된 인수들을 나타냅니다.
● Terms: 모델에 사용된 요인들에 대한 분산 분석 결과를 보여줍니다. 여기서 "사료"는 사용된 요인이며,  "Residuals"는 오차 항목을 나타냅니다. 각각의 항목에 대해 제곱합과 자유도가 제공됩니다.
●  Sum of Squares: 각 항목에 대한 제곱합(합의 제곱)을 나타냅니다.
●  Deg. of Freedom: 각 항목에 대한 자유도를 나타냅니다.
●  Residual standard error: 모델의 잔차 표준 오차를 나타냅니다. 이 값은 모델이 관찰된 데이터를 얼마나 잘 설명하는지에 대한 측정입니다.
●  Estimated effects may be unbalanced: 사용된 효과의 추정치가 균형이 없을 수 있다는 경고입니다. 이는 데이터셋이 그룹 간에 불균형하게 분포되어 있을 수 있다는 것을 나타냅니다. 이 경우 분산 분석 결과의 해석에 유의해야 합니다.

 

위 내용만으로는 검정통계량이 나와있지 않기 때문에 추가로 summary( ) 함수를 사용합니다.

 

summary(aov(체중증가~사료,data=rats))

 

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
사료         3   2404   801.4   3.584  0.023 *
Residuals   36   8049   223.6                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

● Mean Sq: 평균 제곱을 나타냅니다. 이 값은 제곱합을 해당 자유도로 나눈 것입니다.
● F value: F-통계량을 나타냅니다. 이 값은 "사료" 그룹 간의 분산과 잔차의 분산 비율에 대한 통계량입니다. 즉, 그룹 간의 차이가 오차의 변동에 비해 얼마나 큰지를 나타냅니다.
● Pr(>F): F-통계량에 대한 p-value를 나타냅니다. 이 값은 "사료" 그룹 간의 평균이 통계적으로 유의하게 다른지를 판단하는 데 사용됩니다. 만약 p-value가 유의수준(예: 0.05)보다 작으면, "사료" 그룹 간의 평균이 통계적으로 유의하게 다르다는 것을 의미합니다. 여기서는 p-value가 0.023이므로 유의수준 0.05에서 "사료" 그룹 간의 평균이 통계적으로 유의하게 다르다고 볼 수 있습니다.

 

또한, Signif. codes는 p-value의 유의성을 나타내는 코드를 표시합니다. 일반적으로 별표가 많을수록 p-value가 유의하다는 것을 의미하며, '*'가 하나인 경우 0.05보다 작은 유의성을 나타냅니다.

summary( aov( ) ) 함수는 아래의 분산분석표를 보여줍니다.

 

변동요인	자유도	제곱합	평균제곱	F-통계량
처리(모형)	p-1	SSTR	MSTR	MSTR/MSE
오차	N-p	SSE	MSE
전체	N-1	TSS

 

 

(4) 분산분석 - lm( ) 함수

 

분산분석을 하는 또 다른 방법은 선형 모델을 이용하는 방법입니다.

선형회귀분석함수는 lm( ) 이 있습니다.

lm(formula, data)

formula: 분석할 모델을 지정하는데 사용됩니다. 
일반적으로 종속 변수와 독립 변수 간의 관계를 나타내는 공식으로 지정됩니다.
data: 분석에 사용할 데이터 프레임을 지정합니다.

 

위 자료를 분산분석을 하면,

 

lm(체중증가~사료,data=rats)

 

Call:
lm(formula = 체중증가 ~ 사료, data = rats)

Coefficients:
(Intercept)        사료2        사료3        사료4  
       79.2         20.8          4.7          6.7

 

● (Intercept): 절편을 의미합니다. 이는 다른 모든 설명 변수가 0일 때의 예측된 종속 변수의 값입니다. 여기서는 사료1의 평균이라 할 수 있습니다.
● 사료2, 사료3, 사료4: "사료" 변수의 수준에 대한 회귀 계수입니다. 여기서 "사료" 변수는 범주형이며, 더미 변수화되어 각 수준에 대해 하나의 회귀 계수가 할당됩니다.
해석은 다음과 같습니다:
● 사료2: 사료 2를 뜻하며, 다른 모든 설명 변수가 동일할 때 사료 2를 사용하는 경우, 종속 변수의 평균적인 증가량은 20.8이라고 해석할 수 있습니다.
● 사료3: 사료 3을 뜻하며, 다른 모든 설명 변수가 동일할 때 사료 3을 사용하는 경우, 종속 변수의 평균적인 증가량은 4.7이라고 해석할 수 있습니다.
● 사료4: 사료 4를 뜻하며, 다른 모든 설명 변수가 동일할 때 사료 4를 사용하는 경우, 종속 변수의 평균적인 증가량은 6.7이라고 해석할 수 있습니다.

이러한 회귀 계수는 각각의 사료 유형이 종속 변수에 미치는 영향을 나타냅니다. 만약 사료 유형이 종속 변수와 관련이 있다면, 해당 사료 유형의 회귀 계수는 0이 아닌 유의한 값으로 나타날 것입니다.

 

위 선형회귀함수에 추가로 anova( ) 함수를 사용합니다.

 

result <- lm(formula, data)
anova(result)

Analysis of Variance Table

Response: 체중증가
          Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
사료       3 2404.1  801.37   3.584 0.02297 *
Residuals 36 8049.4  223.59                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

위 summary( aov( ) ) 함수와 같은 결과값이 나옵니다.
다만, anova( ) 함수에는 선형모델 데이터 값이 들어가야 하기 때문에 기존 데이터를 선형모델하는 것이 선행되어야 합니다.

 

참고로 위 선형회귀함수에 추가로 summary( ) 함수를 사용하면 아래와 같은 결과값이 나옵니다.

result <- lm(체중증가~사료,data=rats)
summary(result)

 

Call:
lm(formula = 체중증가 ~ 사료, data = rats)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-29.90  -9.90   2.05  10.85  25.10 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   79.200      4.729  16.749  < 2e-16 ***
사료2         20.800      6.687   3.110  0.00364 ** 
사료3          4.700      6.687   0.703  0.48668    
사료4          6.700      6.687   1.002  0.32307    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 14.95 on 36 degrees of freedom
Multiple R-squared:   0.23,	Adjusted R-squared:  0.1658 
F-statistic: 3.584 on 3 and 36 DF,  p-value: 0.02297

 

선형분석에 대한 결과값 마지막에 검정통계량과 p-value 값이 나오므로 이것을 보고 판단할 수 있습니다.

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