95. 반복이 없는 이원배치 분산분석 II

Chapter 95. 반복이 없는 이원배치 분산분석 II

 

1. 변량효과모형

 

앞서 일원배치 분산분석와 마찬가지로 변량효과모형은 각 처리 수준의 평균이 모집단에서 무작위로 추출된 것으로 간주합니다. 이 모형은 처리 수준이 랜덤으로 선택되는 경우에 사용됩니다. 변량효과모형은 처리 수준에 대한 일반화된 추론을 하기 위해 사용됩니다.

 

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변량효과모형은 처리 효과가 랜덤으로 추출된 표본이며, 이러한 효과들이 모집단에서 랜덤하게 선택되었다고 가정하는 통계 모형입니다. 즉, 이 모형은 처리 효과를 무작위 효과로 간주하며, 각 처리 수준의 효과가 모집단에서 무작위로 추출되었다고 가정합니다.

고정효과모형이 두 요인의 수준 모두 실험자가 결정하였다면, 변량효과모형은 두 요인의 수준 모두 무작위로 선택되는 것이라 할 수 있습니다.

 

(1) 모형식

 

이원배치 분산분석의 모형식은 아래와 같습니다.

 

$$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$

각 요인의 수준은 무작위로 추출되기 때문에 매번 바뀔 수 있습니다. 따라서,
수준의 평균들과 오차항은 확률변수로 표현할 수 있습니다.

 

$$\alpha_i, \beta_j, \epsilon_{ij} \implies 확률변수$$

각 항은 아래와 같습니다.

 

$\mu :$ 전체 평균

$\alpha_i \sim iid N ( 0. \sigma_A^2)$

$\beta_j \sim iid N ( 0, \sigma_B^2)$

$\epsilon_{ij} \sim iid N ( 0, \sigma^2)$

이 때, $\alpha_i , \beta_j, \epsilon_{ij}$ 은 서로 독립입니다.

 

 

(2) 모형식의 특징

 

위 모형식은 확률변수이므로 아래와 같은 특징을 가지게 됩니다.

 

$$E(Y_{ij}) = \mu$$ $$Var(Y_{ij}) = \sigma_A^2 + \sigma_B^2 + \sigma^2$$

관측값에 대한 기대값과 분산은 위와 같이 나타납니다.

또한 같은 요인내에서의 공분산은 아래와 같습니다.

 

$$Cov(Y_{ij}, Y_{ik}) = \sigma_A^2$$

$$Cov(Y_{ij}, Y_{kj}) = \sigma_B^2$$

 

(3) 동일 수준내에서의 관측값들 간의 상관관계

 

요인 A와 요인 B의 상관관계는 각각 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$$Cor(Y_{ij}, Y_{ik}) = \rho(A) = \frac{\sigma_A^2}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 + \sigma^2}$$

$$Cor(Y_{ij}, Y_{kj}) = \rho(B) = \frac{\sigma_B^2}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 + \sigma^2}$$

동일 수준내 상관계수(intraclass correlation coefficient : ICC)의 값이 크다는 것은 그룹 간의 변동이 크고, 그룹 내의 변동이 상대적으로 작다는 것을 의미합니다. 달리 표현하면, 전체 분산 중 수준 평균의 분산이 차지하는 비율이 높고, 동일 수준내의 두 관측값의 상관관계가 높다고 말할 수 있습니다.

 

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2. 변량효과모형에서의 통계적 추론

 

(1) 변량효과모형에서의 관심문제

 

고정효과모형에서는 평균들의 차이 있는지에 대하여 검정을 하지만, 변량효과모형에서의 평균은 무작위 추출하는 확률변수이기 때문에 매번 바뀔 수 있기 때문에 평균들의 차이를 직접 구하는 것은 의미가 없습니다.

분산 $\sigma_{\mu}^2$ 이 0 이라면 평균은 차이가 없다는 의미이고, $\sigma_{\mu}^2 > 0$ 이라면 평균은 차이가 있다는 것입니다. 따라서, 변량효과모형에서의 관심은 분산 $\sigma_{\mu}^2$ 이라고 할 수 있습니다.

 

 

(2) 가설 설정

 

요인 A와 요인 B의 귀무가설은 아래와 같이 설정할 수 있습니다.

 

$$H_{A0} : \sigma_A^2 = 0$$

$$H_{B0} : \sigma_B^2 = 0$$

분산이 0이면 모든 값이 같다는 것입니다. 따라서 대립가설은 분산이 0이 아니면 처리효과가 있다는 것을 나타냅니다.

 

(3) 분산분석표

 

분산분석표에서 F 검정값을 확인하여 각각의 처리효과 유무를 판단하게 됩니다.
이 때, 유의하지 않는 요인의 처리효과가 있다면, 오차에 흡수시켜 다시 분석하게 됩니다.

 

변동요인	자유도	제곱합	평균제곱	F-통계량
처리 A	p-1	SSA	MSA	MSA/MSE
처리 B	q-1	SSB	MSB	MSB/MSE
오차	(p-1)(q-1)	SSE	MSE
전체	N-1	TSS

 

 

(4) 모수 추정

 

위 분산분석표에서 평균제곱의 기대값은 아래 처럼 분산으로 표현할 수 있습니다.

 

$$E(MSE) = \sigma^2$$

$$E(MSA) = \sigma^2 + q\sigma_A^2$$

$$E(MSB) = \sigma^2 + p\sigma_B^2$$

$\implies$ MSE보다 MSA(MSB)가 크다면 $\sigma_A^2 > 0 (\sigma_B^2>0 )$ 일 가능성이 높아진다는 의미입니다.

이를 기반으로 각 요인의 분산을 추정해보면,

 

$\sigma_A^2$의 추정 : $\hat{\sigma_A^2} = max ( 0, \frac{MSA - MSE}{q} )$

  $\implies H_{B0}$ 하에서 $\hat{\sigma_A^2} = \frac{MSA - MSE_A}{q}$

 

$\sigma_B^2$의 추정 : $\hat{\sigma_B^2} = max ( 0, \frac{MSB - MSE}{p} )$

  $\implies H_{A0}$ 하에서 $\hat{\sigma_B^2} = \frac{MSB - MSE_B}{q}$

이 때 상관계수는 아래와 같이 추정해볼 수 있습니다.

 

$\rho(A)$의 추정 : $\hat{\rho}(A) = \frac{p(MSA-MSE)}{pMSA + qMSB + ((p-1)(q-1)-1)MSE}$

  $\implies H_{B0}$ 하에서 $\hat{\rho}(A) = \frac{MSA}{MSA + (q-1)MSE_A}$

 

$\rho(B)$의 추정 : $\hat{\rho}(B) = \frac{q(MSB-MSE)}{pMSA + qMSB + ((p-1)(q-1)-1)MSE}$

  $\implies H_{A0}$ 하에서 $\hat{\rho}(B) = \frac{MSB}{MSB + (p-1)MSE_B}$