확률의 공리(Axiom): 수학의 비밀을 푸는 첫 번째 열쇠

48일차

확률의 공리(Axiom): 수학의 비밀을 푸는 첫 번째 열쇠

 

공리(Axiom)의 정의와 역할

 

"두 점을 지나는 직석은 오직 하나뿐이다" 라는 내용은 초등학교 5학년 수학에 나온다고 한다. 이 명제는 유클리드 기하학에서 증명 없이 받아들여지는 공리(Axiom)이다. '공리'라는 말이 낯설 수도 있다. 공리는 한자로 표기하면 ' 公理'

이다. 뜻 풀이를 하자면, 많은 사람이나 사회에 널리 통용되는 진라라는 의미이다. 이를 수학적으로 말하면, 공리는 증명 없이 참으로 받아들이는 가장 기본적인 명제이다. 즉, 더 이상 증명할 필요 없이 스스로 진리인 것으로 간주되는 명제를 의미한다. 마치 건물의 기초와 같이, 수학의 모든 정리와 증명은 이러한 공리를 바탕으로 이루어 진다.

 

공리는 너무 당연하게 여겨지는 내용이라서 우리가 공리의 역할을 인지하지 못하는 경우가 많다. 공리는 소위 공식을 만드는 출발점이다. 즉 수학의 비밀을 푸는 첫 번째 열쇠라고 할 수 있다. 예를 들어, "두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다" 라는 공리를 바탕으로 삼각형의 내각의 합은 180도라는 정리와 같은 다양한 정리를 증명할 수 있다.

 

만약 모든 것을 증명하려고 하면 무한한 회귀에 빠지게 된다. 이 때문, 증명 없이 참으로 받아들여지는 출발점이 필요하다. 공리는 이러한 출발점을 제공하여 수학 체계를 체계화하고, 다양한 정리를 유도하는 데 기반이 된다. 

 

쉽게 비유하면, 공리는 스마트 폰 앱과 같다. 앱은 원하는 기능을 사용할 수 있도록 도와주는 역할을 한다. 마찬가지로 공리는 수학에서 문제를 풀거나 새로운 것을 배울 때 도움을 주는 기본적인 규칙이다.

 

확률의 공리

 

확률에서도 공리가 존재한다. 확률의 공리는 확률이라는 개념을 수학적으로 정의하고, 그 성질을 규정하는 가장 기본적인 법칙이다.  1933년 러시아의 수학자 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 다지면서 제시한 확률의 공리는 크게 3 가지로 나눌 수 있다.

 

제1공리: 모든 사건의 확률은 0 이상 1 이하의 실수이다.

어떤 사건이 발생할 확률은 음수가 될 수 없으며, 반드시 0과 1사이의 값을 가져야 한다.

 

 

제2공리: 전체 표본 공간의 확률은 1이다.

어떤 일이 반드시 일어날 경우(즉, 전체 표본 공간)의 확률은 1이다.

 

 

제3공리: 서로 배반인 사건들의 합집합에 대한 확률은 각 사건의 확률의 합과 같다.

 

서로 같이 일어날 수 없는 사건들(배반사건)이 여러 개 있을 때, 이들 중 적어도 하나가 일어날 확률은 각 사건이 일어날 확률을 모두 더한 것과 같다. 배반사건은 동시에 일어날 수 없는 두 개 이상의 사건을 의미한다.

 

 

 

예를 들어 주사위를 던지는 실험을 한다고 했을 때, 위 공리를 적용해보면 아래와 같다.

 

• 제1공리: 주사위의 눈이 1이 나올 확률은 1/6으로, 0과 1 사이의 값이다.
• 제2공리: 주사위를 던졌을 때 1부터 6까지의 눈이 나오는 것은 확실한 사건이므로, 그 확률은 1이다.
• 제3공리: 주사위의 눈이 1이 나오거나 2가 나올 확률은 각각의 확률을 더한 1/6+1/6=1/3 이다. 주사위 눈이 1이 나오는 사건과 주사위 눈이 2가 나오는 사건은 동시에 일어날 수 없는 배반사건이다.

 

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위 내용은 어떠한 증명이 필요 없이 그냥 당연하게 생각된다. 이 확률의 공리는 확률론의 모든 이론에 적용되는 기본적인 법칙이다. 공리는 일관성과 체계성을 유지하는 데 필수적인 역할을 한다. 마치 건물을 지을 때 기초가 되는 설계도면이 모든 건물에 적용되는 것처럼, 확률론에서 확률의 공리는 모든 확률적 모델과 이론의 기반이 된다.

 

기억하자! 확률의 공리!