21. R을 이용한 표준화 - 표준점수 구하기

Chapter 21. R을 이용한 표준화 - 표준점수 구하기

 

지난 회차에서 정규분포를 표준 정규 분포로 만들기 위해 필요한 표준화에 대해 알아봤습니다.

 

2023.09.13 - [통계학 이야기] - 20. 수치자료의 형태 - 정규분포

20. 수치자료의 형태 - 정규분포

 

주변에서 접하게되는 표준화의 예제가 수능 표준 점수가 아닌가 싶습니다.  아래 예제를 통해 R을 이용하여 표준점수와 등급을 구해보겠습니다.

 

◈ 예제 : 수능 표준 점수와 등급 구하기

 

학생 A와 B가 수능에서 각각 한국지리와 세계사를 선택하였을 경우 성적을 공정하게 비교할 수 있을까?
두 과목 점수의 모집단분포가 정규분포를 따른다고 가정할 수 있지만 평균과 분산은 다르다.
A는 한국지리에서 46점, B는 세계사에서 48점을 받았다고 가정하자.
한국지리를 택한 전체 수험생 점수의 평균은 40점, 표준편차는 4점이고, 세계사의 경우 평균이 42점, 표준편차가 3점이라고 하자.

 

1.  두 명의 표준점수는 ?

 

 

이 경우 원 점수를 다음과 같은 절차를 거쳐서 평균이 50과 분산이 10인 표준점수로 환산하여 비교할 수 있습니다.

 

 (1)  원 점수를 표준화를 합니다.

   위 식에 각 학생의 점수와 과목 평균 및 표준편차를 대입하여 계산합니다.

 

  ▶ 학생  A : 한국지리 46 , 한국지리 평균 40, 표준편차 4

(46-40)/4

     1.5

 

  ▶ 학생  B : 세계사 48, 세계사 평균 42, 표준편차 3

(48-42)/3

      2

 

 이렇게 구한 표준화된 점수는 둘 다 평균이 0 이고 표준편차가 1인 표준정규분포를 따릅니다.

 

(2) 표준화된 점수를 표준점수로 변환

 

 표준화된 점수를 평균이 50점이며 표준편차가 10인 표준점수로 변환합니다.

 이렇게 하기 위해 표준화된 점수에 표준점수의 편차 10을 곱하고 평균  50을 더해줍니다.

 

▶ 학생  A :  한국지리 표준점수 65

A <-(46-40)/4
A*10+50

65 

 

 

▶ 학생  B :  세계사 표준점수 70

B<-(48-42)/3
B*10+50

70

 

 

2. 등급 구하기 

 

 

출처 : 나무위키

 

 수능 등급은 9 등급으로 위 그림을 표로 정리하면,

등급	비율(%)
1	0 ~ 4
2	4 ~ 11
3	11 ~ 23
4	23 ~ 40
5	40 ~ 60
6	60 ~ 77
7	77 ~ 89
8	89 ~ 96
9	96 ~ 100

 

등급을 알기위해서는 표준화된 점수의 백분율 알아야 합니다.

 

▶ pnorm( ) 함수

   정규분포의 누적 확률 분포를 구하는 함수입니다.

pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail =TRUE)

q : 확률변수가 어떤 값보다 작거나 같은 확률을 계산
mean : 정규분포의 평균값, 기본값은 0
sd : 정규분포의 표준편차, 기본값은 1
lower.tail : TRUE인 경우 누적분포함수의 하한값을 계산, 기본값
             FALSE인 경우, 누적분포함수의 상한값을 계산

 

▶ 학생  A : 표준화된 Z 값은 1.5, 하위로부터 누적은 93% 이고, 상위로 부터 누적은 6.6% 따라서 2등급입니다.

pnorm(A) # A = 1.5
pnorm(A,lower.tail = FALSE)

▶ 학생  B : 표준화된 Z 값은 2, 하위로부터 누적은 97.7% 이고, 상위로 부터 누적은 0.02% 따라서 1등급입니다.

pnorm(B) # B = 2
pnorm(B,lower.tail = FALSE)

 

3. 등급컷을 구하려면 ?

 

한국지리, 세계사에서 1 등급을 받기 위해서 점수는 얼마여야 하나?

 

 방법은 먼저 96백분위수를 찾고 원점수 기준으로 표준편차를 곱하고 평균을 더하면 됩니다.

 

▶ qnorm( ) 함수

 

    표준정규 분포에서 분위수를 구해주는 함수입니다. 

qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail =TRUE)

p : 분위수를 계산하고자 하는 확률값
mean : 정규분포의 평균값, 기본값은 0
sd : 정규분포의 표준편차, 기본값은 1
lower.tail : TRUE인 경우 왼쪽 꼬리를 기준으로 계산, 기본값
             FALSE인 경우, 오른쪽 꼬리를 기준으로 계산

▶ 학생  A : 한국지리에서 1등급 컷은 47점입니다.

round(qnorm(0.96)*4+40)

47

▶ 학생  B : 세계사에서 1등급 컷은 47점입니다.

round(qnorm(0.96)*3+42)

47

 

참고로 각 등급컷 분위수는 아래와 같습니다.

qnorm(0.96)
qnorm(0.89)
qnorm(0.77)
qnorm(0.6)
qnorm(0.4)
qnorm(0.23)
qnorm(0.11)
qnorm(0.04)

 

4. 함수로 표준점수와 등급 구하기

 

원점수,과목평균,표준편차를 넣으면 표준점수와 등급이 나오게 끔 함수로 작성해 보았습니다.

grade <- function(t,m,s){
  g <-(t-m)/s
  s1 <- g*10+50
  g2 <-pnorm(g)
  is_grade<- ifelse (g2>=0.96,"1등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.89,"2등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.77,"3등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.60,"4등급",    
             ifelse(pnorm(g)>=0.40,"5등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.23,"6등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.11,"7등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0.04,"8등급",
             ifelse(pnorm(g)>=0,"9등급",
                    )))))))))
  result <-c(s1,is_grade)
  return(result) 
}

▶ 학생 A 의 원점수, 한국지리 평균, 표준편차를 순서대로 입력하였습니다.

grade(46,40,4)

65점, 2등급을 알 수 있습니다.