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75. 두 그룹간 평균 비교 - 독립표본 II 본문
Chapter 75. 두 그룹간 평균 비교 - 독립표본 II
정규성 검정과 등분산성 검정은 모수적 통계 분석의 전제 조건을 확인하는 데 중요한 도구입니다. 이러한 검정을 통해 추론 결과의 타당성을 평가하고, 적절한 통계 분석 방법을 선택할 수 있습니다.
정규성 가정 확인은 shapiro-wilk 검정 등으로 확인할 수 있습니다.
등분산성 검정이란 두 그룹 간의 분산이 동일한지 여부를 확인하는 것입니다. 많은 통계적 분석 방법은 등분산 가정을 전제로 합니다. 등분산성이 충족되지 않을 경우에는 분석 결과가 왜곡될 수 있습니다. 따라서 등분산성 검정을 통해 두 그룹 간의 분산이 유사한지 여부를 확인하는 것이 필요합니다.
이번 회차에서는 분산이 다른 경우에 대해 알아보겠습니다.
1. 모집단 가정
두 모집단 모두 정규분포 형태를 가정합니다.
정규모집단 가정으로 독립표본이나 분산이 다른 경우를 가정합니다.

(1) 확률표본
X1,X2,...,Xm∼iidN(μ1,σ21)
Y1,Y2,...,Yn∼iidN(μ2,σ22)
⟹X1,X2,...,Xm 와 Y1,Y2,...,Yn 은 서로 독립이고, 분산은 다를 경우를 가정.
(2) 점 추정
두 모집단의 비교에서 관심모수는 두 모평균의 차이라고 할 수 있습니다.
관심모수에 대한 점 추정량은 각각의 표본평균의 차이를 사용할 수 있습니다.
μ1−μ2⟸ˉX−ˉY
(3) 표본평균의 통계적 성질
E(ˉX)=μ1,E(ˉY)=μ2
Var(ˉX)=σ21m,Var(ˉY)=σ22n
정규 확률변수의 선형결합은 정규분포를 따르게 됩니다.
ˉX∼N(μ1,σ21m),ˉY∼N(μ2,σ22n)
ˉX 와 ˉY 는 독립일 때, ˉX−ˉY는 정규분포를 따릅니다.
ˉX−ˉY∼N(μ1−μ2,σ21m+σ22n)
따라서, 두 표본평균의 차이 역시 정규분포를 따르게 됩니다.
(4) 표준화
두 표본평균의 차이를 표준화하면 아래와 같습니다.
Z=ˉX−ˉY−(μ1−μ2)√σ21/m+σ22/n∼N(0,1)
통상 모분산, 모표준편차는 알 수 없는 경우가 많습니다. 따라서, 표본분산과 표본표준편차를 대신 사용하게 됩니다.
각각의 표본분산은 아래와 같이 나타납니다.
σ21⟸S2X=1m−1m∑i=1(Xi−ˉX)2
σ22⟸S2Y=1n−1n∑i=1(Yi−ˉY)2
(5) 중심축량
모표준편차대신 합동표본분산을 적용한 중심축량은 아래와 같습니다.
T=ˉX−ˉY−(μ1−μ2)√S2X/m+S2Y/n∼??
위 중심축량은 아직 정확한 분포는 모릅니다. 하지만 T 분포에 근사하는 것으로 알려져 있어 T분포를 이용합니다.
다만 자유도를 정할 때는 아래의 방법을 사용합니다.
Welch-Satterthwaite 방정식은 Welch t-검정에서 사용되는 자유도(degree of freedom)를 계산하는 방법 중 하나입니다. Welch t-검정은 두 그룹 간의 평균 차이를 비교할 때, 그룹 간 분산이 다르거나 표본 크기가 다른 경우에 사용됩니다. 이 방정식은 두 그룹의 표본 크기와 분산을 고려하여 적절한 자유도를 계산합니다.
Welch-Satterthwaite 방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
((첫번째그룹의분산/첫번째그룹의표본크기)+(두번째그룹의분산/두번째그룹의표본크기))2(첫번째그룹의분산/첫번째그룹의표본크기)2첫번째그룹의표본크기−1+(두번째그룹의분산/두번째그룹의표본크기)2두번째그룹의표본크기−1
이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
ν=(S2X/m+S2Y)2(S2X/m)2/(m−1)+(S2Y/n)2/(n−1)
위 식은 R 등 통계프로그램에서 구할 수 있습니다.
간편한 자유도는 즉 정수값은 아래와 같이 구하여 사용할 수 있습니다.
ν=min(m−1,n−1)
따라서, 중심축량은 위에서 구한 자유도를 따르는 T분포를 나타냅니다.
T=ˉX−ˉY−(μ1−μ2)√S2X/m+S2Y/n∼tν
2. 구간 추정
두 모평균의 차이에 대한 구간 추정은 위 중심축량을 기준으로 신뢰구간을 정하게 됩니다.
유도 과정을 살펴보면 아래와 같습니다.
(μ1−μ2)에 대한 100(1−α) 신뢰구간을 나타내면,
1−α=P(−tα/2,ν<T<tα/2,ν)
=P(−tα/2,ν<ˉX−ˉY−(μ1−μ2)√S−X2/m+S2Y/n<tα/2,ν)
위 식에서 μ1−μ2를 중심으로 정리하면, 신뢰구간은 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
(ˉX−ˉY−tα/2,ν√S2X/m+S2Y/n,ˉX−ˉY+tα/2,ν√S2X/m+S2Y/n)
3. 가설 검정
가설검정의 절차를 살펴보면, 가설을 설정하고 검정통계량을 구하고 구한 검정통계량의 분포와 유의수준을 비교 검토후 기각 또는 채택의 결론을 내리게 됩니다.
(1) 가설 설정
귀무가설(H0) : 현상태에 대한 잠정적 가정
대립가설(H1): 우리가 알고 싶은 것
H0:μ1=μ2vsH1:{μ1>μ2μ1<μ2μ1≠μ2
일반식 H0 는 μ1−μ2=δ 로 표현할 수 있습니다.
(2) 검정통계량 : 귀무가설하에서 표본의 비정상성을 결정하기 위해 사용되는 통계량
T0=ˉX−ˉY−δ√S2X/m+S2Y/n∼tν
(3) 검정통계량의 분포와 유의수준을 비교 검토합니다.
유의수준을 α라고 하면 기각역 {①(tα,ν,∞)②(−∞,−tα,ν)③(−∞,−tα/2,ν),(tα/2,ν,∞)
(4) 결론
기각역(비정상영역) : 귀무가설 기각 (대립가설 채택)
채택역(정상영역) : 귀무가설 유지 (대립가설 기각)
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