29. 확률의 공리와 기본 정리

Chapter 29. 확률의 공리와 기본정리

 

1. 확률의 공리 (Axiom)

 

공리적 확률이란 확률 이론의 기초를 이루는 기본 원칙들로 확률을 정의하고 이에 대한 성질을 명시하는 규칙들을 말합니다. 공리적 확률은 증명할 필요가 없는 확률의 기본적인 원리로서, 확률 이론의 출발점이며 기반이 되는 핵심 원리를 의미합니다.이러한 원리들은 논리적으로 증명할 수 없고, 확률 이론을 구축하기 위해 가정하는 필수적인 규칙들입니다. 이러한 규칙들이 없으면 확률에 대한 일관된 체계를 가질 수 없습니다.

 

(1) 음의 확률은 없다.

 

모든 사건에 대한 확률은 음수가 아니어야 합니다. 확률은 항상 0 또는 양수여야 하며, 음수가 될 수 없습니다.

 

(2) 전체 표본 공간의 확률은 1 이다.

 

표본 공간 Ω 전체에 대한 확률은 1 이어야 합니다. 즉, 모든 가능한 결과들이 발생할 확률의 합은 1이 되어야 합니다.

 

(3) 상호 배반적 사건들의 합의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같다.

 

상호 배반적인 사건들의 합의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 즉, 겹치지 않는 사건들의 확률을 계산할 때 각 사건의 확률을 합할 수 있습니다.

 

 

2. 확률의 기본 정리

확률의 공리는 확률이론의 기반이 됩니다. 확률의 공리로 부터 다음과 같은 확률의 기본 정리들을 유도할 수 있습니다.

 

(1) 사건 A 는 0부터 1사이의 값을 가진다.

(2) 여사건의 법칙

 

A의 여사건이란 A가 일어나지 않을 확률입니다. 

 따라서 A 가 일어날 확률을 P(A)라 한다면, 여사건의 확률은 1-P(A) 가 됩니다.

 

(3) 덧셈법칙

 

   P(A or B), P(A 또는 B) : 사건 A,B 중 적어도 하나의 사건이 일어날 확률

 

   P(A and B), P(A 그리고 B) : 사건 A,B 가 함께 일어날 확률

  덧셈법칙     

 

(4) 배반사건(Disjoint, Mutullay exclusive)

 

 배반사건이란 임의의 두 사건 A와 B가 공통부분이 없는 경우를 말합니다.

 

 (5) A가 B의 부분집합일 때

 

 

 

◈ 예제 : 동아리

 

어느 학교 신입생 120명의 동아리 가입 여부를 조사한 결과, 60명은 테니스부, 56명은 학술동아리, 42명은 밴드부에 가입한 것으로 나타났다. 이 중 34명은 테니스부와 학술동아리에 모두 가입하였고, 20명은 학술동아리와 밴드부를 동시에 가입하였으며, 16명은 테니스부와 밴드부에 모두 가입하였다. 또한 6명은 세가지 동아리에 모두 가입한 것으로 조사되었다. 이러한 조사 결과를 바탕으로, 아래의 학생 수를 계산하여라.

 

  1. 세 가지 동아리 중 어느 곳에도 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

  2. 학술동아리에 가입하였지만, 테니스부나 밴드부에는 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

  3. 테니스부와 학술동아리는 모두 가입하였으나, 밴드부에는 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

 

(풀이)

 

문제의 내용을 아래와 같이 정리해 볼 수 있습니다.

• S (표본공간) : 120명
• 사건 A (테니스부) : 60명
• 사건 B (학술동아리) : 56명
• 사건 C (밴드부) : 42명
• A ∩ B : 34명
• B  ∩ C : 20명
• A ∩ C : 16명
• A ∩ B ∩ C : 6명
• A ∪  B ∪  C = A+B+C- ( A ∩ B) - (B  ∩ C) - (A ∩ C)+ (A ∩ B ∩ C) = 60+56+42-34-20-16+6=94 : 94명

벤다이어그램

 

1. 세 가지 동아리 중 어느 곳에도 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

 

  세 동아리 어느 곳에도 가입하지 않았다는 의미는 A,B,C  합집합(A ∪  B ∪  C)의 여집합을 구하라는 것입니다.

 따라서, 표본공간에서 합집합 (A ∪  B ∪  C)을 빼주면 됩니다.

 

  S - (A ∪  B ∪  C) = 120 - 94 = 26

 

 26명의 학생은 어느 곳에도 가입하지 않았습니다.

 

 

2. 학술동아리에 가입하였지만, 테니스부나 밴드부에는 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

 

  학술동아리를 가입한 학생 수에서 테니스부와 밴드부에도 가입한 학생 수를 빼주면 됩니다.

 

     B - ( (A ∩ B)+ (B  ∩ C) - (A ∩ B ∩ C)) = 56 -(34+20-6) = 8 

 

 8 명의 학생이 학술동아리에만 가입하였습니다.

 

 

3. 테니스부와 학술동아리는 모두 가입하였으나, 밴드부에는 가입하지 않은 학생의 수를 구하라.

 

  테니스부와 학술동아리를 가입한 학생 중에서 전체를 가입한 학생 수를 빼주면 됩니다.

 

     (A ∩ B) - (A ∩ B ∩ C) = 34 - 6 = 28

 

 28 명의 학생이 테니스부와 학술동아리를 가입하였습니다.