49. R을 이용한 확률분포 - 기하분포 & 음이항분포

Chapter 49. R을 이용한 확률분포 - 기하분포 & 음이항분포

 

1. R 에서의 확률분포

 

이산확률분포		연속확률분포
이항분포	binom	정규분포	norm
초기하분포	hyper	T분포	t
포아송분포	pois	F분포	f
기하분포	geom	카이분포	chisq
음이항분포	nbionom	균등분포	unif
다항분포	multinom	지수분포	exp

구하고자 하는 함수에 따라 아래의 접두사를 붙여 사용하면 됩니다.

• d : probability mass/density function - 확률 질량/밀도 함수
• p : cumulative distribution function - 누적함수
• q : quantile function - 분위수
• r : random number generator - 램덤 생성 작업

 

2. 기하분포(Geometric Distribution)

기하분포는 성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 성공할 때까지 시행하는 경우 실패(시행)횟수의 분포입니다.

 

기하분포의 확률질량함수는 다음과 같습니다. 

 

$$ f(x) = (1-p)^x p , x = 0.,1,2,... $$

 

R에서 기하분포의 확률질량함수를 구하는 함수는 "dgeom" 입니다.

 

dgeom(x,p)

 x : 확률변수 - 실패횟수
 p : 성공확률

 

p = 0.3 인 실패횟수가 0인 확률질량함수

x <- 0
p <- 0.3
dgeom(x,p)

[1] 0.3

즉, 처음 시행했을 때 성공할 확률입니다. 따라서 성공할 확률 p와 같습니다.

 

x가 0에서 10까지의 확률질량함수 그래프

x <-0:10
p <- 0.3
geom <- dgeom(x,p)
names(geom) <- x
barplot(geom, space = 2, col='skyblue',xlab = '실패횟수')
abline(h=0)

◈ 예제 : 동전던지기 - 앞면이 나올 때까지 던지는 실험에서 2번이내에 성공할 확률은 ?

 

 이 경우는 누적분포함수를 구하는 'pgeom' 함수로 구할 수 있습니다.

 

pgeom(x,p,lower.tail=TRUE)

 x : 확률변수 - 누적실패횟수
 p : 성공확률
 lower.tail : 누적분포확률의 방향을 나타냅니다. 
              TRUE : x보다 적거나 같은 값의 합
              FALSE : x보다 큰 값의 합

 

x <- 2-1
p <- 0.5
pgeom(x,p)

[1] 0.75

주의해야 할 점은 매개변수 x 는 실패횟수이므로 실행횟수에서 1을 빼야합니다. 따라서 x 에는 실행횟수 2에서 1을 뺀 1로 함수를 실행해야 합니다.

 

누적분포함수를 그래프로 그리면,

x <- 0:9
p <- 0.5
pge <- pgeom(x,p,lower.tail = TRUE)
names(pge) <- x+1
barplot(pge, space = 2, col='skyblue',main='누적분포함수', xlab = '실행횟수',ylim =c(0,1))
abline(h=0)
abline(h=0.9,col='red')

  위 그래프에서 90% 이상의 성공률을 보이는 최소 실행 횟수는 4 회임을 알 수 있습니다.

 

 

 

3. 음이항분포(Negative Binomial Distribution)

 

음이항분포는 성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 r번 성공할 때까지 시행하는 경우 실패(시행)횟수의 분포입니다.

 

음이항분포의 확률질량함수는 다음과 같습니다.

 

$$ f(x) = \binom{x+r-1}{r-1} p^r(1-p)^{x} , x=0,1,2,3,... $$

 

R에서 음이항분포의 확률질량함수는 'dnbinom' 입니다.

dnbinom(x,r,p)

 x : 확률변수 - r번 성공할 때까지 실패한 횟수
 r : 성공횟수
 p : 성공할 확률

 

◈ 예제 : 가위바위보

 

5명과  차례로 가위바위보 게임을 한다고 했을 때, 비기거나 지면 계속 게임을 진행하고 이기면 다른 사람과 게임을 합니다.

 

(1) 가위바위보 게임을 10회만에 완료할 확률은 ?

 

 x는 실패횟수이므로 5, r 은 5, 성공확률 p =1/3 을 차례로 함수에 적용합니다.

x <- 5 # 실패횟수
r <- 5 # 성공횟수
p <- 1/3 # 성공확률

dnbinom(x,r,p)

[1] 0.06828227

 

(2) 가위바위보 게임을 10회 이내에 완료할 확률은 ?

 

이 경우는 누적확률분포함수를 구하는 'pnbinom'을 사용합니다.

pnbinom(x,r,p,lower.tail = TRUE)

 x : 확률변수 - r번 성공할 때까지 실패한 횟수
 r : 성공횟수
 p : 성공할 확률
 lower.tail : 누적분포확률의 방향을 나타냅니다. 
              TRUE : x보다 적거나 같은 값의 합
              FALSE : x보다 큰 값의 합

x <- 5 # 실패횟수
r <- 5 # 성공횟수
p <- 1/3 # 성공확률
pnbinom(x,n,p,lower.tail = TRUE)

[1] 0.2131281

 

5회시행부터 20회 시행까지의 누적확률분포 그래프

x <- 0:20 # 실패횟수
r <- 5 # 성공횟수
p <- 1/3 # 성공확률

dnb <-pnbinom(x,r,p)
names(dnb) <- x+5
barplot(dnb, space = 2, col='skyblue',xlab = '실행횟수',ylim=c(0,1))
abline(h=0)
abline(h= 0.9, col="red")

가위바위보 게임이  22회이상 실행해야 90%의 완료가능성이 있습니다.