확률의 기원

60일차

 

확률의 기원

 확률은 불확실성을 측정하는 도구라 할 수 있습니다. 확률이라는 개념이 도박으로 부터 시작되었다는 사실을 알았을 때, 놀라운 일은 아니었습니다. 도박만큼 불확실한 것은 없으니까요. 확률에 대한 개념은 도박의 승률에 관한 질문으로부터 시작했다고 합니다.

 

17세기 프랑스 귀족인 슈발리에 드 메레(Chevalier de Mere)는 당시 유명한 도박사였습니다. 그는 도박에서 발생한 문제에 대해 고민하였습니다. 주사위 게임 중에 “주사위를 4번 던져서 적어도 한 번 6이 나올 확률” 과 “주사위 두 개를 24번 던져서 적어도 한 번 두 주사위 모두 6이 나올 확률”을 비교하는 문제였습니다. 드 메레는 경험적으로 두 확률이 같다고 생각했지만, 실제 계산 결과는 달랐습니다. 두 사람이 게임을 하다가 도중에 중단되었을 때, 각자가 게임을 계속 진행했다면 얻었을 것으로 예상되는 승률에 따라 판돈을 어떻게 분배해야 하는지에 대한 문제였습니다.

 

드 마레는 어느 경우가 더 승률이 높은지에 대하여 블레즈 파스칼(Blaise Pascal 1623-1662)에게 문의했습니다. 파스칼은 수학, 물리학, 철학, 신학 등 다양한 분야에서 뛰어난 업적을 남긴 천재였습니다. 그는 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1601-1665)와의 서신 교환을 통하여 드 메레의 질문에 대하여 의견을 나눴고, 이를 해결하는 과정에서 우연에 대한 경험적 관찰을 수학적 이론으로 발전시켰습니다. 이들은 확률을 수치로 표현하고 계산하는 방법을 체계화했으며, 이를 통해 확률론의 기초 개념을 정립하였습니다.

 

파스칼(좌), 페르마(우), 출처: 위키피디아

 

확률론의 기초를 마련했다는 것은 확률을 수학적으로 계산하고 표현하는 체계를 만들었다는 의미입니다. 그렇다고 해서 그 이전에는 확률에 대한 계산이 전혀 없었다는 것은 아닙니다. 고대 이집트나 그리스를 비롯하여 중세까지 주사위 던지기 등 우연에 의한 결과에 관심이 있었으나, 이를 체계적으로 분석하거나 수학적으로 표현하지는 않았습니다. 파스칼과 페르마의 연구는 확률론을 단순한 경험적 관찰에서 벗어나 수학의 한 분야로 발전시키는 데 결정적인 역할을 한 것입니다.

 

드 마레가 질문한 확률을 실제 계산해 보면,

 

☆ 게임 1: 최대 4번까지 주사위를 한 개 던지는 데 적어도 한 번 6이 나올 확률

 

여사건의 법칙에 따라 게임 1의 승률은 1-(4번 모두 6이외의 숫자가 나올 확률)로 계산할 수 있습니다. 여기서 각각 주사위를 던질 때 나오는 눈의 개수는 서로 영향을 주지 않으므로 곱셈의 법칙을 사용하면 4번 모두 6이외의 숫자가 나올 확률은 모두 6이외의 숫자가 나올 확률을 4번 곱해서 구할 수 있습니다.

이를 수식으로 표현하면,

 

$$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 0.5177$$

 

따라서 51.77%의 승률입니다.

 

☆ 게임 2 : 최대 24번까지 주사위를 두 개 던지는데 둘 다 6이 나올 확률

 

여사건의 법칙에 따라 게임2의 승률은 1-(24번 모두 둘 다 6이 나오지 않을 확률) 로 계산할 수 있습니다. 여기서 둘 다 6이 나오지 않을 확률은 35/36입니다.

이를 수식으로 표현하면

 

$$1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} = 0.4914$$

 

따라서 49.14% 입니다.

 

위 두 게임 중에 미세하지만 게임 1의 확률이 더 높습니다. 수치화 하지 않았다면, 이 둘은 같은 확률일 것으로 판단했을 것입니다. 우리가 실생활에서 49%와 51%의 확률을 구분하여 판단할 수 있을까요?

 

이처럼 확률의 수치화를 통하여 객관적인 비교와 분석이 가능해졌습니다. 이러한 수치화는 확률론을 단순한 경험적 관찰에서 벗어나 과학적인 학문으로 발전시키는데 결정적인 역할을 했습니다. 이를 통해 우리는 불확실한 세상에서 더 합리적인 판단을 내리고 미래를 예측할 수 있게 되었습니다. 확률은 혼란 속에 빛을 찾아가는 지도라 할 수 있습니다.