57. R을 이용한 이항분포의 정규근사

Chapter 57. R을 이용한 이항분포의 정규근사

 

이항분포는 대표적인 이산형 확률분포이지만, 표본크기가 충분히 크고 파라미터 값이 적당한 경우에는 정규분포로 근사할 수 있습니다. 이러한 근사를 사용하면, 이항분포를 다루기 어려운 경우에도 정규분포의 성질을 활용하여 다양한 추론을 수행할 수 있습니다.

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1. 이항분포의 확률이 0.5에 가까울 때

이항분포 $X \sim B(100, 0.4)$ 의 그래프를 그려보면, 아래와 같습니다.

n <- 100
p <- 0.4
mu <- n*p
sigma <- sqrt(n*p*(1-p))
x <- 0:n

fx <- dbinom(x,n,p)
plot(x,fx,ylab="f(x)",type="h",xlim=c(20,60))
abline(h=0)

 

 

위 이항분포 위에 정규분포 곡선을 그려보면,

x <- seq(20,60,by=0.1)
fx <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,fx,col="red")

 

평균 40을 기준으로 좌우 대칭이 잘 되는 정규분포곡선 형태에 근사한 것을 볼 수 있습니다.

 

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2. 이항분포의 확률이 작을 때

이항분포 $X \sim B(100, 0.04)$ 의 그래프를 그려보면, 아래와 같습니다.

n <- 100
p <- 0.04
mu <- n*p
sigma <- sqrt(n*p*(1-p))
x <- 0:n

fx <- dbinom(x,n,p)
plot(x,fx,ylab="f(x)",type="h",xlim=c(-10,50))
abline(h=0)

 

위 그래프에 정규분포곡선을 그려보면,

x <- seq(-10,50,by=0.1)
fx <- dnorm(x,mu,sigma)
lines(x,fx,col="red")

포아송 분포곡선을 그려보면,

lambda <- 100*0.04
x <- 0:100
pois <- dpois(x,lambda)
names(pois)<-x
barplot(pois,space=10,xlab="x",ylab="f(x)")
abline(h=0)

 

※ 확률이 0에 근접하였을 때는 포아송분포와 근사함을 알 수 있습니다.

 

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3. 연속성 수정

◈ 예제 : 여론조사

 

    전체 국민 60%가 A 정책에 대해 찬성한다고 했을 때, 150명을 무작위로 뽑아 찬성하는 사람의 비율을 알아보려고 할 때, 적극 찬성하는 사람이 78명 이하일 확률은 ?

 

 위 문제를 식으로 표현하면, $ X \sim B(150,0.6) $ 일 때 $P(X \leq 78) $ 를 구하라는 것입니다.

 이를 이항분포 가정하에서의 이항분포 확률을 구하면 0.0284 가 나옵니다.

 

R 로 계산하면,

n <- 150
p <- 0.6
pbinom(78,n,p)

[1] 0.02839329

 

위 식을 정규분포 근사로 푼다면, $ X \simeq N( np, np(1 - p)) $ 에 적용할 수 있습니다.

$ X \simeq N(90,36) $ 일 때,

$$ P(X \leq 78) \simeq P \left( Z \leq \frac{78-90}{6} \right) = 0.0228 $$

 

R 로 계산하면,

mu <- n*p
sigma <- sqrt(n*p*(1-p))
pnorm(78,mu,sigma)

[1] 0.02275013

 

 

위 정규근사에 연속성 수정을 한다면,

  

$$ P(X \leq 78) \simeq P \left( Z \leq \frac{78+ 1/2 -90}{6} \right) = 0.0276 $$

 

R 로 계산하면,

mu <- n*p
sigma <- sqrt(n*p*(1-p))

pnorm(78+1/2,mu,sigma)

[1] 0.02764015

 

 

연속성 수정을 했을 때 더 정확한 확률에 근접함을 알 수 있습니다.

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