56. 이항분포의 정규근사

Chapter 56. 이항분포의 정규근사

 

1. 이항분포의 정규근사란?

 

이항분포는 대표적인 이산형 확률분포이지만, 표본크기가 충분히 크고 파라미터 값이 적당한 경우에는 정규분포로 근사할 수 있습니다.  이러한 근사를 사용하면, 이항분포를 다루기 어려운 경우에도 정규분포의 성질을 활용하여 다양한 추론을 수행할 수 있습니다. 

 

특히, 정규분포의 선형성과 대칭성, 표준화 등의 성질을 이용하면 이항분포에 대한 확률계산이 간단하고 직관적으로 이루어집니다. 이러한 이율, 이항분포의 정규근사는 통계적 추론에서 매우 중요한 역할을 합니다.

 

이항분포의 정규근사는 중심극한정리를 기반으로 합니다.

 

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2. 이항분포의 정규근사

 

모든 이항분포가 정규근사가 가능한 것이 아니라 조건이 어느 정도 갖추어졌을 때 정규근사를 이룰 수 있습니다.

 

(1) 포아송 근사

 

 앞서 포아송분포에서 $X \sim B( n, p )$인 이항분포에서

  n이 크고 p가 작은 이항분포의 경우 포아송 분포와 차이가 거의 없다는 것을 알아봤습니다.

  $\lambda$ 가 5 이하이면 포아송 근사가 잘 이루어집니다.

 

2023.10.27 - [통계학 이야기] - 46. 포아송분포(Poisson Distribution) - 이산확률분포

46. 포아송분포(Poisson Distribution) - 이산확률분포

 

그러나, $p$가 0.5 에서 많이 벗어나지 않는 경우에는 포아송 근사가 잘 이루어지지 않습니다.

 

◈ 예제 : $ X \sim B(100,0.4)$ 인 이항분포의 기대값 $E(X) = 40$ 일 때,

    $ P( X \leq 35)$ 를 구한다면?

 

  이항분포

$$P(X \leq 35) = \sum_{x=0}^{35} \binom{100}{x} 0.4^x 0.6^{100-x} = 0.1795 $$

 

  포아송 근사

$$ \sum_{x=0}^{35} \frac{e^{-40} 40^x}{x!} = 0.2424 $$

 

$p$ 가 0.5 근처라서 포아송 근사가 잘 이루어지지 않습니다.

 

(2) 정규근사

 

이항분포 $ X \sim B( n,p ) $ 에서의 기대값과 분산은 ,

$$ X = X_1+X_2+\cdots + X_n 일 때, E(X) = np , Var(X) = np(1-p) $$

 

입니다. 이를 표본비율로 나타낸다면, 표본비율 $ \hat{p} = \frac{X}{n} = \bar{X} $ 입니다.

따라서, 표본비율의 기대값과 분산은,

$$ E(\hat{p}) = p , Var(\hat{p}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{p(1-p)}{n} $$

 

 중심극한정리에 따르면 n이 큰 경우 표본평균 값의 분포는 정규분포에 가까워 집니다.

따라서, 표본비율 $ \hat{p} $ 도 n이 꺼지면 정규분포에 근사합니다.

$$ \hat{p} \simeq N \left( p , \frac{p(1-p)}{n} \right) $$

위 식을 표준화를 하게 되면,

$$ \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\simeq N( 0, 1 ) $$

표준화된 식의 분자, 분모에 n을 곱해 정리하면,

$$ \frac{X - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \simeq N( 0, 1 ) $$

위 식을 X로 정리하면,

$$ X \simeq N( np, np(1 - p)) $$

즉, X는 정규분포에 근사한다는 것을 보여줍니다.

 

▶ $X \sim B(100, 0.04)$ 와 $X \sim B(100, 0.4)$ 의 분포 비교

 

 p 가 0.5에 가까울 때 정규근사가 더 잘되는 것을 보여줍니다.

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3. 연속성 수정(Continuity Correction)

 

이항분포의 정규근사에서 연속성 수정(continuity correction)은 이항분포의 확률을 정규분포로 근사하는 경우 발생하는 근사오차를 보정하기 위한 방법입니다.

 

이항분포는 이산형 확률분포로 특정한 변수가 가질 수 있는 값들이 이산적이며, 반면에 정규분포는 연속형 확룰분포로 특정한 확률변수가 가질 수 있는 값들이 연속적입니다. 이러한 차이 때문에 이항분포의 확률을 정규분포로 근사화할 때, 근사 오차가 발생하게 됩니다.

 

이산분포인 경우 확률

$$ P( X \leq x-1 )  =  P( X< x)  \not= P( X \leq x ) $$

정규분포인 경우 확률

$$ P \left( Z \leq \frac{x-1-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \not= P \left( Z < \frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) = P \left( Z \leq \frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) $$

 

 

$X \sim B( n, p ) $ 일 때, $ x= 0,1, ..., n$ 에 대해, $P(X>x) = P(X \ge x+1), P(X \ge x) = P(X>x-1) $이므로,

연속성 수정은 이항분포 x 값에서 1/2 만큼 더하거나 빼서 수정하게 됩니다.

$$ P( X<x ) \simeq P \left( Z < \frac{x-1/2 - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \simeq P(X \leq x-1) $$

$$ P( X>x ) \simeq P \left( Z > \frac{x-1/2 - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \simeq P(X \ge x+1) $$

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◈ 예제 : 여론조사

 

    전체 국민 60%가 A 정책에 대해 찬성한다고 했을 때, 150명을 무작위로 뽑아 찬성하는 사람의 비율을 알아보려고 할 때, 적극 찬성하는 사람이 78명 이하일 확률은 ?

 

 위 문제를 식으로 표현하면, $ X \sim B(150,0.6) $ 일 때 $P(X \leq 78) $ 를 구하라는 것입니다.

 이를 이항분포 가정하에서의 이항분포 확률을 구하면 0.0284 가 나옵니다.

 

위 식을 정규분포 근사로 푼다면, $ X \simeq N( np, np(1 - p)) $ 에 적용할 수 있습니다.

$ X \simeq N(90,36) $ 일 때,

$$ P(X \leq 78) \simeq P \left( Z \leq \frac{78-90}{6} \right) = 0.0228 $$

 

위 정규근사에 연속성 수정을 한다면,

  

$$ P(X \leq 78) \simeq P \left( Z \leq \frac{78+ 1/2 -90}{6} \right) = 0.0276 $$

 

연속성 수정을 했을 때 더 정확한 확률에 근접함을 알 수 있습니다.

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