생각 작업실 The atelier of thinking

Chapter 66. 모평균에 대한 통계적 추론 III 모수 추정을 위해서는 여러가지 표본을 수집하기 위해서 비용과 시간 등의 제약조건에 영향을 받습니다. 표본크기는 모수 추정의 정확도 및 신뢰도에 영향을 줍니다. 따라서 모수 추정을 위한 표본크기는 정확도와 신뢰도, 비용과 시간을 고려한 최적의 크기를 정해야 합니다. 여기서 신뢰도는 신뢰수준을 통하여 , 정확도는 오차범위로 나타낼 수 있습니다. 통계학 추론의 두 방법인 구간추정과 가설검정에 기반한 표본크기 결정방법에 대하여 알아보겠습니다.  1. 구간 추정에 기반한 표본크기 결정방법 앞서 구간추정에서 $\mu$ 에 대한 95% 신뢰구간은 아래 그림과 같이 나타냈습니다.  위 그림을 일반화하여 수식으로 표현하면, $ 100(1-\alpha)%$ 신뢰수준에..

Chapter 65. 모평균에 대한 통계적 추론 II     기본적으로 통계학 추론을 할 때에는 모집단에 대한 가정이 있는지 없는지 또는 그 가정이 만족하는지 안 하는지에 대해서 체크해야 합니다.앞서 모집단이 정규분포라 가정한 통계적 추론 과정을 알아봤습니다.모집단이 정규분포를 따른다고 가정했을 때에는 T분포를 이용하여 추론이 가능합니다. 이번 회차에서는 모집단이 정규성을 만족하지 않을 때에 통계적 추론 방법에 대해서 알아보겠습니다. 표본 크기가 클 때와 표본 크기가 크지 않고 이상점이 존재할 때로 나누어 살펴보겠습니다. 1. 모집단이 정규성을 만족하지 않고 표본크기가 클 때 표본크기가 큰 경우이면 중심극한정리에 의해 정규분포에 근사합니다.따라서, 정규분포를 가정하고 통계적 추론을 합니다. 검정 통계량은..

Chapter 64. 모평균에 대한 통계적 추론 I 통계적 추론은 추론 목적에 따라 크기 추정과 가설검정으로 나눌 수 있습니다.    통계적 추론은 일반적으로 모집단의 특성에 대한 정보를 표본으로부터 얻어내는 과정을 포함합니다. 특히, 모평균과 모분산은 통계적 추론에서 주로 다루어 지는 대상 중 하나입니다.  표본으로부터 얻은 통계량을 사용하여 모집단의 특성에 대한 가설을 검정하거나, 신뢰구간을 구하여 추정하는 등의 작업을 수행하여 통계적 추론을 실시합니다. 1. 모평균에 대한 통계적 추론   모평균에 대한 통계적 추론은 표본을 통해 모집단의 평균에 대한 정보를 얻고자 하는 과정입니다. 일반적으로, 통계적 추론은 모집단의 평균에 대한 추정과 가설 검정 두 가지로 나눌 수 있습니다.  (1) 모평균에 대한..

Chapter 63. 가설 검정(Hypothesis Testing) 통계적 추론은 추론 목적에 따라 크게 추정과 가설검정으로 나눌 수 있습니다. 가설검정은 주어진 가설에 대해 데이터를 사용하여 통계적으로 검증하는 것을 의미합니다. 1. 가설의 개념과 종류 (1) 가설 검정(Hypothesis Testing)의 개념 가설 검정은 모집단의 모수 또는 분포에 대한 추측이나 주장을 설정하고 이것의 옳고 그름을 표본의 정보를 이용하여 확률적으로 판정하는 과정을 말합니다. 가설 검정은 모집단에 대한 가설을 세우고, 이를 테이터로부터 검증하는 방법입니다. 가설 검정은 귀무가설과 대립가설을 설정하고, 귀무가설이 기각되면 대립가설을 채택합니다. (2) 가설(Hypothesis)의 종류 가설이란 모수 또는 분포(모집단)에..

Chapter 62. 추정(Estimation) - 구간 추정(Interval Estimation) 통계적 추론은 추론 목적에 따라 크게 추정과 가설검정으로 나눌 수 있습니다. 추정은 표본을 통해 모집단의 모수를 추측하는 것을 의미합니다. 추정은 표본의 정보를 활용하여 모집단에 대한 정보를 얻는 데에 중요한 역할을 합니다. 추정은 점추정과 구간추정으로 나눌 수 있습니다. 구간 추정은 표본에서 계산한 통계량을 이용하여 모수가 속할 가능성이 높은 구간을 추정하는 방법입니다. 1. 구간 추정(Interval Estimation) 구간추정은 표본에서 계산한 통계량(예: 표본평균)을 이용하여 모수(예: 모평균)가 속할 가능성이 높은 구간을 추정하는 방법입니다. 일반적으로, 구간추정은 표본으로부터 계산된 점추정치(..

Chapter 61. 추정(Estimation) - 점 추정(Point Estimation) 통계적 추론은 추론 목적에 따라 크게 추정과 가설검정으로 나눌 수 있습니다. 추정은 표본을 통해 모집단의 모수를 추측하는 것을 의미합니다. 추정은 표본의 정보를 활용하여 모집단에 대한 정보를 얻는 데에 중요한 역할을 합니다. 추정은 점추정과 구간추정으로 나눌 수 있습니다. 점추정은 하나의 값으로 모수를 추정하는 것을 의미하며, 대표적으로 표본평균이나 표본분산 등이 있습니다. 1. 점 추정 점 추정이란 미지의 모수를 표본의 어떤 함수(통계량, statistic)를 이용하여 어떤 값으로 추정하는 과정입니다. 점 추정은 하나의 값으로 모수를 추정하는 것을 의미합니다. 점 추정량을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있지만,..

Chapter 60. 통계적 추론의 개요 1. 통계적 추론(추론 통계학) 통계학의 개요에서 아래의 그림으로 통계학을 표현하였습니다. 통계적 추론 혹은 추론 통계학은 표본으로부터 모집단이 무엇인지를 추론하는 것이라 할 수 있습니다. 통계적 추론을 통하여 얻어진 모집단은 처음 표본을 추출했던 모집단과는 정확히 일치하지 않을 수 있습니다. 하지만, 통계적 추론은 모집단 II를 처음 관심을 가졌던 모집단 I과 거의 같게 만드는 과정이라고 말할 수 있습니다. 통계학을 크게 아래와 같이 분류하였습니다. 통계적 추론(추론 통계학)은 조건에 따라 아래와 같이 분류할 수 있습니다. (1) 모집단에 대한 가정 여부에 따른 분류 : 모수적 방법 vs 비모수적 방법 (2) 모수처리 방식에 따른 분류 : 빈도주의(Frequen..

Chapter 59. 카이제곱분포(Chi-square Distribution) - 연속확률분포 1. 카이제곱분포란? k개의 서로 독립적인 표준정규확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포입니다. k를 자유도라고 하며 카이제곱분포의 매개변수가 됩니다. 카이제곱분포는 신뢰구간이나 가설검정에서 사용합니다. 표준정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이 자유도가 1인 카이제곱분포를 따릅니다. $$ Z^2 \sim \chi^2_1 $$ 서로 독립인 카이제곱분포의 합은 역시 카이제곱분포를 따르며 이 경우 자유도는 합치기 전 각각 확률변수의 자유도의 합과 같습니다.  2. 카이제곱분포의 확률밀도함수 카이제곱분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. $$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\varGamma(k/2)}..

Chapter 58. T 분포(T-Distribution) 1. T 분포의 유래 및 원리 T-분포는 student T-분포의 줄임말로 맥주회사 기네스사에 일하던 월리엄 고셋( William Sealy Gosset )이 1908년에 제안하였는데 회사의 방침에 따라 본명을 사용할 수 없었던 고셋이 "student"라는 필명을 사용하여 제안하였습니다. 그는 작은 표본 크기에 대한 신뢰구간과 가설검정에 관한 분포를 연구하면서 T-분포를 개발했습니다. T-분포는 정규분포와 유사하지만, 표본 크기가 작을 때 발생하는 표본평균에 대한 불확실성을 더 잘 반영합니다. 특히, T-분포는 모집단이 정규분포를 따를 때, 작은 표본에서 표본평균의 분포를 나타냅니다. T-분포는 모집단의 표준편차를 알지 못할 때, 모집단이 정규분..

Chapter 57. R을 이용한 이항분포의 정규근사 이항분포는 대표적인 이산형 확률분포이지만, 표본크기가 충분히 크고 파라미터 값이 적당한 경우에는 정규분포로 근사할 수 있습니다. 이러한 근사를 사용하면, 이항분포를 다루기 어려운 경우에도 정규분포의 성질을 활용하여 다양한 추론을 수행할 수 있습니다. 1. 이항분포의 확률이 0.5에 가까울 때 이항분포 $X \sim B(100, 0.4)$ 의 그래프를 그려보면, 아래와 같습니다. n